Dynamiczna analiza mostów - dobre praktyki

Kiedy zachodzi potrzeba wykonywania analiz dynamicznych mostów?

Analiza konstrukcyjna mostów opiera się głównie na obliczeniach statycznych. Czasami zachodzi jednak konieczność przeprowadzenia analizy dynamicznej – na przykład przy uwzględnianiu obciążeń sejsmicznych, parcia wiatru czy oddziaływań ruchomych wywoływanych przez pociągi dużych prędkości. Różne sytuacje obliczeniowe wymagają odmiennych typów analiz, z których wszystkie można z powodzeniem zrealizować w systemie BRIGADE/Plus.

Mosty poddane ruchowi pociągów dużych prędkości (KDP)

W niniejszym artykule przyjrzymy się bliżej, jak w programie BRIGADE/Plus przeprowadzić analizę dynamiczną mostu żelbetowego poddanego obciążeniom generowanym przez tabor dużych prędkości. Zacznijmy od rozdzielenia oddziaływań (obciążenie pociągiem) oraz samej konstrukcji (mostu), wskazując elementy wymagające szczególnej uwagi w analizie dynamicznej.

Obciążenie pociągami dużych prędkości

W tym typie sytuacji obliczeniowej zagadnienie musi być rozpatrywane dynamicznie, ponieważ siły wewnętrzne w układzie pociąg–tor–most osiągają znaczne wartości i ulegają gwałtownym zmianom w czasie. Siły bezwładności są wprost proporcjonalne do przyspieszeń mas w ustroju mostowym.

Częstotliwość wymuszenia dynamicznego od pociągów dużych prędkości zależy od:

• regularnego rozstawu osi taboru,
• regularnego rozstawu podkładów kolejowych,
• wad toru oraz nierówności torowiska,
• wpływu spłaszczeń kół (wheel flats).

W praktyce inżynierskiej pod uwagę bierze się najczęściej wyłącznie regularny rozstaw osi i to na nim skupimy się w tym opracowaniu.

Równomierny rozstaw osi generuje obciążenie o charakterze okresowym. Zależność pomiędzy częstotliwością f, okresem T, prędkością pociągu v oraz odległością między osiami L przedstawia poniższe równanie:

W składzie pociągu występuje kilka powtarzających się odległości (patrz: Rysunek 2), które w zależności od prędkości jazdy wzbudzają odmienne częstotliwości wymuszenia. Najbardziej miarodajną wielkością jest długość pojedynczego wagonu w składzie (odległość E na poniższym rysunku).

Rysunek 2 – Przykład zróżnicowanych rozstawów i długości w obrębie składu pociągu. 

Parametry modelu mostu

Istnieją konkretne parametry modelu mostu, na które należy zwrócić szczególną uwagę podczas przygotowywania analizy dynamicznej:

• Sztywność (Stiffness)
• Masa (Mass)
• Tłumienie (Damping)

Parametry te – łącznie z geometrią obiektu – w decydujący sposób wpływają na charakter odpowiedzi ustroju mostowego. Zrozumienie ich oddziaływania na dynamikę konstrukcji jest niezbędne do podejmowania świadomych decyzji przy budowie modelu obliczeniowego. Poniżej przeanalizowano, jak poszczególne parametry modyfikują przyspieszenia pionowe w przęśle swobodnie podpartym.

Wpływ sztywności

Wzrost sztywności materiałowej przęsła mostu prowadzi do podwyższenia częstotliwości drgań własnych (natural frequencies). Wraz ze wzrostem sztywności dominująca odpowiedź dynamiczna przesuwa się w stronę wyższych prędkości pociągu. Maksymalna amplituda przyspieszeń pozostaje natomiast bez zmian (patrz: Rysunek 3).

Rysunek 3 – Wpływ zmiany sztywności przęsła mostu.

Wpływ masy

Wzrost masy pomostu skutkuje obniżeniem częstotliwości własnych, a tym samym obniżeniem prędkości krytycznych pociągu. Ponadto mniejsza masa generuje mniejsze amplitudy drgań. 

Rysunek 4 – Wpływ zmiany masy przęsła mostu.

Wpływ tłumienia

Wzrost tłumienia konstrukcyjnego powoduje redukcję amplitud drgań. Częstotliwości drgań własnych oraz prędkości krytyczne pozostają niezmienne.

Rysunek 5 – Wpływ zmiany tłumienia przęsła mostu.

Finding the critical speed  

Po zdefiniowaniu sztywności i masy konstrukcji (oraz pozostałych właściwości niezbędnych do skompletowania modelu) wyznacza się – poprzez rozwiązanie zagadnienia własnego (eigenvalues) – częstotliwości drgań własnych (f) oraz postacie drgań (eigenmodes / mode shapes) ustroju.W modelu występują zatem obciążenia od różnych pociągów dużych prędkości o zmiennej zawartości częstotliwościowej zależnej od prędkości przejazdu oraz most posiadający określone częstotliwości drgań własnych.

W sytuacji, gdy widmo częstotliwościowe wymuszenia pokryje się z jedną z częstotliwości drgań własnych konstrukcji, powstaje ryzyko rezonansu. W tym kontekście rezonans oznacza, że każdorazowy przejazd osi pociągu przez dany punkt mostu kumuluje ugięcie drgającej w tym punkcie konstrukcji.Projektowanie mostów kolejowych dużych prędkości regulują właściwe normy projektowe (design codes), określające graniczne wymagania dotyczące odpowiedzi dynamicznej.

Normy wymagają zazwyczaj weryfikacji dla wielu definicji taboru KDP (często jest to 10 różnych typów pociągów). Co więcej, każdy typ pojazdu musi zostać zbadany w określonym zakresie prędkości (zazwyczaj 20–40 różnych prędkości), aby wyznaczyć miarodajne wartości projektowe dla danego obiektu.

Oznacza to konieczność wykonania łącznie od 200 do nawet 400 osobnych analiz.W BRIGADE/Plus pojazdy normowe są predefiniowane; istnieje również możliwość definiowania własnych składów. Użytkownik musi jedynie wyznaczyć w modelu tory ruchu (traffic tracks), po których porusza się pociąg, po czym BRIGADE automatycznie generuje schematy obciążeń dla wszystkich zadeklarowanych pojazdów i prędkości. Konfiguracją i przetworzeniem tak licznych zadań obliczeniowych zajmuje się wbudowany moduł obciążeń dynamicznych (Dynamic Load Module) oraz menedżer zadań (Job Processor).

Wyniki są automatycznie poddawane obróbce w module postprocessingu BRIGADE, co znacząco usprawnia identyfikację prędkości krytycznej. Dla każdego punktu/węzła konstrukcji tworzone są obwiednie (envelopes), np. przyspieszeń czy sił i momentów przekrojowych. Szczegółowo opisano to w rozdziale Obwiednie..  

Różne rodzaje przejściowych analiz dynamicznych

Z uwagi na to, że pełna analiza dynamiczna mostu poddanego obciążeniom taboru KDP wymaga wykonania tak dużej liczby obliczeń, kluczowy jest wybór odpowiedniej metody numerycznej. Niezbędne jest oprogramowanie potrafiące zarządzać wielkimi wolumenami danych wynikowych oraz oferujące wystarczającą wydajność i szybkość, aby czas trwania obliczeń nie stał się nieracjonalnie długi.

W systemie BRIGADE/Plus analizę dynamiczną można przeprowadzić na dwa sposoby: za pomocą niejawnej analizy dynamicznej (implicit dynamic analysis) lub modalnej analizy dynamicznej (modal dynamic analysis).

• Ogólna liniowa (lub nieliniowa) analiza dynamiczna w BRIGADE/Plus wykorzystuje niejawne całkowanie równań ruchu w czasie (implicit time integration) do wyznaczania przejściowej odpowiedzi dynamicznej układu.
• Przejściowa modalna analiza dynamiczna (transient modal dynamic analysis) wyznacza odpowiedź modelu mostu w funkcji czasu w oparciu o zadane obciążenie zmienne w czasie – w tym przypadku historię obciążenia przejazdem pociągu dużych prędkości. Odpowiedź konstrukcji jest aproksymowana za pomocą podzbioru postaci drgań własnych układu, które uprzednio wyznacza się w procedurze ekstrakcji częstości własnych (eigenfrequency extraction procedure). 

W niniejszym artykule skupimy się wyłącznie na modalnej analizie historii czasowej (modal time history analysis). Jest to podejście stosowane najczęściej, gdyż charakteryzuje się znacznie niższym kosztem obliczeniowym w porównaniu z metodami bezpośrednimi.

Dynamiczna analiza modalna

Ekstrakcja częstotliwości drgań własnych

Gdy analiza dynamicznych obciążeń ruchomych opiera się na metodzie superpozycji modalnej (modal superposition), model musi zawierać krok obliczeniowy typu Frequency, w którym rozwiązywane jest zagadnienie własne wyznaczające częstotliwości drgań i postacie własne.

Liczba wyekstrahowanych postaci drgań musi być wystarczająca do adekwatnego odwzorowania dynamicznej odpowiedzi ustroju, co stanowi element oceny inżynierskiej użytkownika.

Utworzenie kroku dynamiki modalnej

Definiowanie obciążeń działających na konstrukcję

W procedurze definiuje się jeden lub kilka modeli pociągów dużych prędkości. W BRIGADE użytkownik może wygenerować pojazd zdefiniowany przez siebie lub skorzystać z biblioteki pojazdów predefiniowanych, np. modeli pociągów HSLM (High Speed Load Models) według Eurokodu. Im większa liczba analizowanych składów, tym dłuższy łączny czas obliczeń.

W BRIGADE obciążenie pociągiem jest zawsze reprezentowane przez zestaw nacisków osi (pary sił skupionych) odpowiadających kołom taboru.

Parametry kroków obliczeniowych

W kolejnym kroku użytkownik określa analizowany zakres prędkości pojazdu. Przykładowo, jeśli przedmiotem zainteresowania jest przedział od 200 do 300 km/h z krokiem co 5 km/h, obliczenia zostaną wykonane kolejno dla 200, 205, 210, 215 km/h itd.

Ponieważ każda prędkość jest analizowana w BRIGADE/Plus w osobnym kroku obliczeniowym (step), dla każdego z nich można wprowadzić specyficzne ustawienia. Dwa kluczowe parametry mające decydujący wpływ na łączny czas analizy to: okres czasu analizy (Time-Period) oraz przyrost czasu (Time Increment).

Czas analizy

Parametr ten określa długość trwania analizy w dziedzinie czasu. Wartość ta powinna być zmienna w poszczególnych krokach/analizach: im szybciej jedzie pociąg, tym krócej przebywa na moście, co pozwala na skrócenie całkowitego horyzontu czasowego kroku. 

Przyrost czasu

Parametr przyrostu (Δt) decyduje o częstotliwości wyznaczania punktów odpowiedzi konstrukcji. Krok całkowania musi być na tyle gęsty, aby zarejestrować wszystkie kluczowe zjawiska dynamiczne – zbyt duży krok prowadzi do zniekształcenia wyników lub błędów numerycznych. Z drugiej strony mniejszy przyrost drastycznie wydłuża czas analizy i powiększa pliki wynikowe. Sprawdzoną regułą inżynierską jest dobór przyrostu czasu (Δt)  w oparciu o najwyższą analizowaną częstotliwość konstrukcji, zgodnie z zależnością:

Przykładowo, jeśli najwyższa uwzględniana częstotliwość wynosi 30 Hz, należy przyjąć przyrost czasu:

Uruchomienie analizy 

W systemie BRIGADE zadanie jest automatycznie dzielone na pojedyncze zadania obliczeniowe (jobs) przypisane do każdego dynamicznego obciążenia ruchomego (Dynamic Live Load). Uruchamianie analiz oraz monitorowanie ich przebiegu odbywa się za pomocą dedykowanego menedżera zadań Job Processor.

Oprócz wymienionych parametrów numerycznych, całkowity czas trwania obliczeń zależy od:

• liczby dostępnych tokenów / licencji obliczeniowych,
• wielkości modelu (liczby węzłów i elementów skończonych),
• zakresu żądanych wyników polowych (field output requests),
• typu zmiennych wyjściowych zadeklarowanych przez użytkownika.

Szczegółowe wytyczne dotyczące optymalizacji modeli w BRIGADE znajdują się w materiałach z warsztatów BRIGADE Dynamic Analysis, dostępnych do pobrania dla użytkowników oprogramowania.

Obwiednie

W jakie sposób interpretować wyniki? 

Po przeliczeniu przejazdów pojazdów dla wszystkich zadanych prędkości rezultaty są automatycznie zestawiane w postaci obwiedni w celu uproszczenia oceny stanu konstrukcji. Dla każdego dynamicznego obciążenia ruchomego generowane są następujące obwiednie:

• obwiednia dla każdej pojedynczej prędkości,
• obwiednia sumaryczna ze wszystkich obwiedni prędkościowych.

Dodatkowo tworzona jest jedna nadrzędna obwiednia obejmująca wszystkie dynamiczne obciążenia ruchome (Dynamic Live Loads).

Przyspieszenie

Analizy dynamiczne generują obszerne zbiory danych, dlatego ich przetwarzanie wymaga systematycznego podejścia. Standardowo do zapisu w wynikach polowych wybiera się: przemieszczenia (U), przyspieszenia (A) oraz siły i momenty przekrojowe (SF i SM).

Rekomendowana metodyka weryfikacji przyspieszeń obejmuje następujące kroki:

1. Utworzenie mapy konturowej (contour plot) obwiedni sumarycznej dla wszystkich prędkości w celu zlokalizowania węzła o najwyższych wartościach przyspieszeń (należy sprawdzić zarówno obwiednię wartości maksymalnych, jak i minimalnych).

3. Sporządzenie wykresu XY dla poszczególnych ramek czasowych (frames) w kroku historii czasowej dla zidentyfikowanej prędkości krytycznej w celu prześledzenia przebiegu przyspieszeń w czasie w węźle krytycznym.

Podsumowanie

Analiza dynamiczna mostu poddanego ruchowi pociągów dużych prędkości wprost uwzględnia siły bezwładności w układzie pociąg–tor–most. Ponieważ odpowiedź konstrukcji ściśle zależy od prędkości przejazdu taboru, ustrój mostowy musi zostać przeliczony dla wielu zróżnicowanych prędkości.

Konieczność zbadania wielu prędkości oznacza wykonanie dużej liczby niezależnych analiz. Zastosowanie modalnej analizy dynamicznej pozwala radykalnie skrócić czas obliczeń w porównaniu z procedurami opartymi na niejawnej integracji bezpośredniej. Poza parametrami krytycznymi dla wszelkich obliczeń dynamicznych, w analizie modalnej należy zwrócić szczególną uwagę na specyficzne parametry metody (np. krok całkowania w czasie, liczba postaci własnych), aby uniknąć błędów merytorycznych i nadmiernego wydłużenia czasu symulacji.

Szczególnej dyscypliny wymaga również konfiguracja żądań zapisu wyników, aby proces postprocessingu pozostał wykonalny operacyjnie. Duża liczba analiz generuje potężne pliki wyjściowe, co wymusza przyjęcie przejrzystej strategii obróbki danych bez ryzyka przeciążenia stacji roboczej.

Program BRIGADE/Plus wyposażono w zintegrowany moduł Dynamic Load Module, który automatyzuje zadawanie obciążeń ruchem pociągów m.in. zgodnie z Eurokodem. Moduł prowadzi inżyniera intuicyjną ścieżką krok po kroku; przejście procedury oznacza w pełni skonfigurowane środowisko obliczeń dynamicznych. Użytkownicy programu mają dostęp do samouczków i warsztatów szczegółowo omawiających realizację zaawansowanych zagadnień dynamiki. Dzięki wykorzystaniu potężnego solvera MES ABAQUS, inżynier ma gwarancję, że obliczenia realizowane są przez sprawdzony, stabilny i wysoce zoptymalizowany silnik obliczeniowy.