Procedura jawnego całkowania w Abaqus/Explicit stosowana jest zasadniczo do rozwiązywania dwóch klas problemów: obliczeń szybkiej odpowiedzi dynamicznej konstrukcji oraz symulacji quasi-statycznych, które ze względów na silnie nieliniowe efekty, takie jak kontakty czy duże deformacje i odkształcenia, trudno rozwiązać w Abaqus/Standard. W Abaqus/Explicit wykorzystuje się algorytm przyrostowy wraz z metodą różnic centralnych do całkowania równań ruchu, w której kluczową rolę z perspektywy warunkowej stabilności algorytmu oraz czasu obliczeń, odgrywa macierz masy. Skalowanie masy to technika pozwalająca na poprawę efektywności obliczeniowej poprzez zwiększenia kroku całkowania bez znaczącego wpływu na dokładność wyników przy zachowaniu warunków stabilności algorytmu.
Zależność między masą a krokiem całkowania w metodzie jawnego całkowania
W metodzie jawnego całkowania stabilny krok czasowy jest związany z warunkiem Couranta-Friedrichsa-Lewy’ego (CFL), według którego stabilną wartość maksymalnego kroku całkowania można interpretować jako czas, w którym fala dylatacyjna przechodzi przez najmniejszy element w modelu. Fala dylatacyjna to rodzaj fali sprężystej, która propagując powoduje rozprzestrzenianie się zaburzenia w materiale. Prędkość tej fali zależy od właściwości materiału. Intuicyjnie, jeśli fala dylatacyjna "przeskoczy" przez element w jednym kroku czasowym, może prowadzić do błędów numerycznych i niestabilności symulacji. Aby zapewnić stabilność obliczeń, krok całkowania powinien być mniejszy od wartości oszacowanej jako stosunek rozmiaru najmniejszego elementu do prędkości fali dylatacyjnej:
Δt = L / c
gdzie:
- Δt to stabilny krok czasowy,
- L to charakterystyczna długość elementu (najmniejszy wymiar w modelu),
- c to prędkość propagacji fali w materiale, zależna od modułu Younga (E) i gęstości materiału (ρ) c = √(E/ρ).
Wzrost masy elementów (w efekcie skalowania masy) skutkuje zwiększeniem gęstości, co prowadzi do zmniejszenia prędkości fali i w efekcie do zwiększenia dopuszczalnego kroku czasowego. Dzięki temu można zmniejszyć liczbę przyrostów czasowych wymaganych do przeprowadzenia analizy, co znacząco skraca czas obliczeń.
Należy w tym miejscu podkreślić, że dla zadań strukturalnych, szczególnie w przypadku dyskretyzacji innej niż kontynualna (np. dla elementów powłokowych lub belkowych) określenie kroku całkowania w powyższy sposób nie jest wystarczająco konserwatywne. W praktyce stosuje się również inne metody określania stabilnego kroku całkowania, np. bazujące na współczynniku wzmocnienia (ang. amplification factor) oraz postaci równania różnicowego. Granica stabilność jest określana dla wartość bezwzględnej współczynnika wzmocnienia mniejszej lub równej 1.0, co dla metody różnic centralnych prowadzi do warunku Δt ≤ 2/ω, gdzie ω to największa częstotliwość własna modelu.
Analiza quasi-statyczna
W symulacjach quasi-statycznych fizyczny czas nie odgrywa istotnej roli, co pozwala na zwiększenie prędkości samego procesu, przez zwiększenie prędkości działania obciążenia/wymuszenia. Nie zawsze jednak możemy pozwolić sobie na takie działanie, szczególnie w przypadku modeli z zależnością od prędkości (np. właściwości materiału), kiedy konieczne jest zachowanie faktycznej skali czasu. Możemy w takiej sytuacji przyspieszyć obliczenia zwiększając kroku całkowania przez sztuczne zwiększenie masy modelu. Skalowanie masy jest preferowaną metodą zwiększenia masy w takich przypadkach. W analizach quasi-statycznych skalowanie masy można przeprowadzić na całym modelu lub jego częściach. Ważne jest jednak, aby nie przekroczyć pewnych granic skalowania, ponieważ zbyt duże zmiany masy mogą wpływać na dokładność wyników.
Analiza dynamiczna
W analizach dynamicznych kluczowe jest dokładne odwzorowanie masy i momentów bezwładności modelu, aby poprawnie uchwycić odpowiedź układu na obciążenia. Problemem mogą być bardzo małe elementy siatki, które wymuszają stosowanie małych kroków czasowych. W takich przypadkach skalowanie masy ogranicza się tylko do tych elementów, co pozwala na zwiększenie stabilnego kroku czasowego bez wpływu na ogólną odpowiedź dynamiczną. Przykładem zastosowania jest analiza uderzenia, gdzie elementy w strefie kontaktu ulegają znacznej deformacji. Skalowanie masy w tych elementach może znacząco zmniejszyć czas obliczeń przy minimalnym wpływie na wyniki. Skalowanie masy nie powinno być stosowane w analizach dynamicznych, w których precyzyjne odwzorowanie masy i momentu bezwładności jest kluczowe dla poprawności rozwiązania i wymaganych wyników.
Techniki skalowania masy
Zastosowana technika skalowania masy zależy od rodzaju analizy. Abaqus/Explicit oferuje trzy rodzaje skalowania masy:
- Stałe skalowanie masy (Fixed Mass Scaling) - przeprowadzane jednokrotnie na początku kroku. Użytkownik może określić współczynnik skalowania lub minimalny krok czasowy. Jest wydajne obliczeniowo, ponieważ operacja wykonywana jest tylko raz. Typowy przykład zastosowania to analiza quasi-statyczna procesu tłoczenia blachy.
- Zmienne skalowanie masy (Variable Mass Scaling) - stosowane na początku kroku i periodycznie w jego trakcie. Przydatne w analizach, gdzie sztywność elementów zmienia się znacząco podczas symulacji. Typowy przykład zastosowania to analiza dynamiczna zderzenia samochodu, gdzie masa wybranych elementów w strefie zgniotu może być skalowana zmiennie w celu zachowania minimalnego, stabilnego kroku czasowego
- Skalowanie masy w kontakcie (Contact Mass Scaling) - skalowanie masy w kontakcie polega na dodaniu masy do węzłów powierzchniowych zaangażowanych w kontakt, aby uniknąć lokalnego spadku przyrostu czasowego poniżej wartości globalnej. Dodatkowa masa dotyczy jedynie węzłów aktywnie uczestniczących w kontakcie i zazwyczaj jest niewielka.
Kontrola skalowania masy
Skalowanie masy jest zabiegiem czysto numerycznym, mogącym istotnie wpłynąć na opis symulowanego zjawiska fizycznego. Kontrolowanie skalowania masy jest kluczowe dla pewności uzyskania poprawnego rozwiązania, ponieważ może ono wpływać na wyniki analizy na wiele sposobów:
- Zniekształcenie dynamicznej odpowiedzi układu - skalowanie masy może zmieniać rzeczywiste wartości masy i bezwładności w modelu, co może wpłynąć na dokładność przewidywania dynamicznej odpowiedzi, szczególnie w analizach dynamicznych.
- Zwiększenie energii kinetycznej - w analizach quasi-statycznych energia kinetyczna powinna pozostać znacznie mniejsza od energii wewnętrznej. Nadmierne skalowanie masy może prowadzić do sytuacji, w której energia kinetyczna staje się znacząca, co zakłóca założenie quasi-statyczności.
- Zwiększenie sił bezwładności - nadmierne skalowanie masy w wybranych obszarach modelu może prowadzić do nienaturalnego wzrostu sił bezwładności, co wpływa na wyniki analizy, szczególnie w przypadku symulacji obejmujących kontakt lub zderzenia.
- Zmiana stabilnego kroku czasowego - choć skalowanie masy jest używane głównie w celu zwiększenia stabilnego kroku czasowego, może to prowadzić do utraty dokładności, jeśli różnice w krokach czasowych między elementami modelu są zbyt duże.
Dlatego należy dokładnie sprawdzić efekt i wpływ skalowania masy na wyniki analizy w Abaqus/Explicit stosując następujące podejścia:
- Porównanie energii kinetycznej i wewnętrznej - sprawdzenie, czy energia kinetyczna (zmienna ALLKE) modelu pozostaje znacznie mniejsza od energii wewnętrznej (zmienna ALLIE), co jest kluczowe w analizach quasi-statycznych. W dynamicznych symulacjach, gdzie skalowanie masy jest stosowane lokalnie, należy upewnić się, że energia kinetyczna nie zmienia się w sposób nieuzasadniony.
- Analiza wyników dla różnych poziomów skalowania - wykonanie kilku analiz z różnymi współczynnikami skalowania masy lub minimalnymi krokami czasowymi a następnie porównanie wyników, aby ocenić wpływ skalowania na stabilność i dokładność symulacji.
- Testowanie modelu bez skalowania - uruchomienie uproszczonej (np. 2D lub osiowosymetrycznej) symulacji bez skalowania masy jako punkt odniesienia dla porównania wyników z symulacjami ze skalowaniem, aby upewnić się, że zmiany są akceptowalne.
- Monitorowanie zmiennych wynikowych - analiza zmiennych wynikowych, takie jak: EMSF (współczynniki skalowania masy dla elementów) aby upewnić się, że nie są one zbyt duże, DMASS (zmiana masy modelu), aby uniknąć istotnych zmian charakterystyk dynamicznych modelu, EDT (stabilny krok czasowy) aby ocenić czy zdefiniowane skalowanie jest zgodne z oczekiwaniami, ALLIE i ALLKE (energie wewnętrzna i kinetyczna), których stosunek w zadaniach quasi-statycznych powinien w trakcie trwania całej analizy pokazywać wyraźną dominację energii wewnętrznej nad kinetyczną.
Przykład zastosowania skalowania masy w analizie
W analizie procesu formowania/zacisku złącza wiązki elektrycznej zastosowano stałe skalowanie masy aby skrócić czas obliczeń:
Stabilny krok całkowania dla wymaganej w tej analizie gęstości siatki, który bez skalowania wynosi ~2e-9, może zostać dzięki temu zwiększony 1000-krotnie do ~2e-6 przy jednoczesnym zachowaniu fizycznej poprawności symulacji. Dalsze skalowanie masy (współczynnik skalowania = 1e+8) dające w efekcie zwiększenie kroku całkowania 10 000 razy powoduje utratę stabilności i całkowicie błędne rozwiązanie.
Pokazane wyżej wykresy energii wewnętrznej (ALLIE) oraz kinetycznej (ALLKE) również pozwalają zauważyć, że w przypadku zbyt dużego skalowania masy, dla t = 0.02, wartość energii kinetycznej w stosunku do energii wewnętrznej gwałtownie rośnie, a chwilę później zadanie traci stabilność - siatka ulega całkowicie niefizycznym deformacjom, a obie energie osiągają wartości 10-krotnie przekraczające wartości uzyskane w poprawnym rozwiązaniu. Uniwersalnym wskaźnikiem sprawdzenia poprawności obliczeń w Abaqus/Explicit jest warunek niezmienności energii całkowitej układu (ETOTAL).
Przykład ten pokazuje, że zastosowanie skalowania masy pozwala na znaczne skrócenie czasu obliczeń, jednocześnie nieumiejętne stosowanie tej techniki stwarza ryzyko otrzymania całkowicie niefizycznej odpowiedzi w przypadku zbyt agresywnego skalowania.
Podsumowanie
Skalowanie masy jest potężnym narzędziem w Abaqus/Explicit, pozwalającym na poprawę efektywności obliczeń bez istotnego wpływu na jakość wyników. Właściwy dobór metody skalowania zależy od rodzaju analizy i charakterystyki modelu. W analizach quasi-statycznych można skalować masę globalnie, podczas gdy w analizach dynamicznych należy ograniczyć skalowanie do elementów krytycznych. Jeżeli chcesz dowiedzieć się więcej na temat skalowania masy w analizach w Abaqus/Explicit oraz nauczyć jej efektywnego stosowania na przykładach zapraszamy na szkolenie TECHNIA Poland.
